あると便利そう.作成途中
| $n$ 個の玉 | $k$ 個の箱 | なんでも | $1$個以下 | $1$個以上 |
|---|---|---|---|---|
| 区別する | 区別する | $k^n$ | ${}_k\mathrm{P}_n$ | $\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}{}_k\mathrm{C}_{i}i^n$ |
| 区別しない | 区別する | ${}_{n+k-1}\mathrm{C}_{n}$ | ${}_k\mathrm{C}_n$ | ${}_{n-1}\mathrm{C}_{k-1}$ |
| 区別する | 区別しない | $B(n, k)$ | $1$ | $S(n, k)$ |
| 区別しない | 区別しない | $P(n+k, k)$ | $1$ | $P(n, k)$ |
$k^n$ です.
$n \gt k$なら$0$, それ以外は${}_k\mathrm{P}_n$です.
$n \lt k$ なら$0$. それ以外は包除原理を使う.【$k$個以下の箱に入れる場合】-【$k-1$個以下の箱に入れる場合】+【$k-2$個以下の箱に入れる場合】- ... を計算する.
$\sum_{i=1}^k(-1)^{k-i}{}_k\mathrm{C}_{i}i^n$.
重複組み合わせ.
組み合わせ. $k$ 個の箱から $n$ 個を選ぶだけ.
組み合わせ. $n$ 個のボールを横に並べて, $n - 1$個の隙間に $k - 1$ 個の仕切りを入れるので, $n - 1$ 個から $k - 1$ 個を選ぶ組み合わせ.
$n \le k$ なら$1$ 通り.
【ボール: 区別有 箱:区別有 それぞれの箱に最低1個】は包除原理を使って計算できた. これにボールの区別が無くなっただけなのでこれを$k!$ で割れば良い.