005 - じゃんけん式 (Rock-Scissors-Paper Expression)

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得点
100

問題文

この問題では，じゃんけんの手「グー」「チョキ」「パー」をそれぞれ R, S, P で表す．R は S に勝ち，S は P に勝ち，P は R に勝つ．

x, y をじゃんけんの手とするとき，x + y,\, x - y,\, x ∗ y を以下のように定める (これらは通常の意味での足し算・引き算・掛け算ではない)：

  • x + y は，x ≠ y のとき x と y のうち勝つ方とし，x = y のとき x とする．
  • x - y は，x ≠ y のとき x と y のうち負ける方とし，x = y のとき x とする．
  • x ∗ y は，x ≠ y のとき R, S, P のうち x でも y でもないものとし，x = y のとき x とする．

じゃんけんの手と +, -, ∗ と括弧からなる式は，以下のように計算する：

  • 括弧の中は先に計算する．例えば，R ∗ (P + S) = R ∗ S = P である．
  • 括弧の深さが同じ部分については，
    • +, - より ∗ の方を優先して計算する．例えば，R - P ∗ S = R - (P ∗ S) = R - R = R である．
    • 同じ優先順位のもの (+ どうし，- どうし，+ と -，∗ どうし) については，左から順番に計算する．例えば，R - P + S = (R - P) + S = R + S = R である．

JOI さんはあるじゃんけんの式を持っていたが，その式の中の R, S, P の一部が見えなくなってしまった．見えなくなってしまった部分が '?' で表された長さ N の文字列 E が与えられる．JOI さんは，見えなくなってしまった部分のそれぞれに R, S, P のいずれかを割り当てる方法であって，式の計算結果が A になるものが何通りあるかを知りたい．その数は非常に大きくなる可能性があるので，1,000,000,007 で割った余りを求めたい．

本問で用いられる文法は，BNF (バッカス・ナウア記法) を用いて以下のように表される．じゃんけんの式の一部が見えなくなってしまったものは <expression> である．

<expression> ::= <term> | <expression> "+" <term> | <expression> "-" <term>
<term> ::= <factor> | <term> "*" <factor>
<factor> ::= "R" | "S" | "P" | "?" | "(" <expression> ")"

これは例えば，ある文字列が <expression> であるとは，「<term> である」または「<expression> である文字列，'+'，<term> である文字列，をこの順に連結させたもの」または「<expression> である文字列，'-'，<term> である文字列，をこの順に連結させたもの」であることである，というように再帰的に定義されることを意味する．

<expression> である文字列 E と計算結果 A が与えられるので，'?' に R, S, P のいずれかを割り当てる方法であって式の計算結果が A になるものの個数を 1,000,000,007 で割った余りを求めるプログラムを作成せよ．

制約

  • 1 ≤ N ≤ 200,000．
  • E は長さ N の文字列である．
  • E は問題文で定められた <expression> である．
  • A は 'R' または 'S' または 'P' である．

小課題

  1. (20 点) N ≤ 15．
  2. (20 点) N ≤ 200．
  3. (60 点) 追加の制約はない．

入力

入力は以下の形式で標準入力から与えられる．

N
E
A

出力

標準出力に，'?' に R, S, P のいずれかを割り当てる方法であって式の計算結果が A になるものの個数を 1,000,000,007 で割った余りを 1 行で出力せよ．

入力例 1

11
S+?-(R+?)*P
S

出力例 1

6

2 箇所の '?' に R, S, P のいずれかを割り当てて計算結果を S にする方法は，以下の 6 通りがある：

  • S + R - (R + R) ∗ P
  • S + R - (R + S) ∗ P
  • S + S - (R + R) ∗ P
  • S + S - (R + S) ∗ P
  • S + P - (R + R) ∗ P
  • S + P - (R + S) ∗ P

入力例 2

15
?+?-?*?+?-?*?+?
R

出力例 2

2187

入力例 3

13
(((((R)))))+?
P

出力例 3

1

入力例 4

1
P
S

出力例 4

0

入力例 5

27
R+((?+S-?*P+?)-P*?+S-?)*R+?
P

出力例 5

381

入力例 6

83
((R+?)*(?+?))*((?+?)*(?+?))*((?+?)*(?+?))-((S+?)*(?+?))*((?+?)*(?+?))*((?+?)*(?+?))
P

出力例 6

460353133

条件を満たす割り当て方は 10,460,353,203 通りあるため，それを 1,000,000,007 で割った余りである 460,353,133 を出力する．