1543 - 蜘蛛の巣上の最短経路探索

問題

PCK君は夏休みの自由研究のために、飯森山に生息するミニグモを観察しています。ミニグモの巣は図(a)に示すように、中心から放射状に均等に並んだ $N$ 本の線分と、これらの線分の上に頂点を持つ $M$ 個の同心の正 $N$ 角形の枠から構成されています。同心多角形と、そのひとつ外側にある同心多角形との間の、放射状の線分に沿って測った間隔は1 cmです。同心多角形の中心から、一番内側の同心多角形の頂点までの距離も1 cmですが、この間に線分は存在しません。図は $N$ = 8, $M$ = 4の巣を表しています。同心多角形には中心に近い順に1から $M$ までの番号 $i$ 、放射状の各線分には0から $N$ - 1までの番号 $j$ が割り振られており、同心多角形 $i$ と放射状の線分 $j$ の交点の座標を( $i$ , $j$ )で表します。

ミニグモは、巣を構成する線分を伝って交点間を移動することができ、獲物が巣にひっかかると、現在地の交点から目的地の交点まで、最短の移動距離で移動します。たとえば、図(b)は現在地(3, 3)から目的地(4, 0)への移動経路を表しています。

研究の結果、PCK君はミニグモの特殊な能力を発見しました。ミニグモは現在地から目的地まで移動する間に、巣を構成する線分に交差しない新たな線分（上図では点線で示されている）を最大 $K$ 本まで生成することができるのです。たとえば、図(c)は交点(1, 3)から交点(1, 0)へ1本の新たな線分を張った、現在地(3, 3)から目的地(4, 0)への移動経路を表します。また、図(d)は交点(2, 3)から交点(1, 2)へ張った新たな線分と、交点(1, 1)から交点(2, 0)へ張った新たな線分を含む、現在地(3, 3)から目的地(4, 0)への移動経路を表します。

巣の大きさを表す情報、ミニグモの現在地と目的地、新たな線分を生成できる最大の回数が与えられる。ミニグモが現在地から目的地へ移動するための最短の距離(cm)を求めるプログラムを作成せよ。

入力

入力は以下の形式で与えられる。

$N$ $M$ $K$
$r_s$ $p_s$
$r_g$ $p_g$

１行目に放射状の線分の数 $N$ ( 4 ≤ $N$ ≤ 20 )、多角形の数 $M$ ( 2 ≤ $M$ ≤ 20 )、新たな線分を生成できる回数 $K$ ( 0 ≤ $K$ ≤ 10 )が与えられる。２行目にミニグモの現在地の座標( $r_s$ , $p_s$ )を表す２つの整数 $r_s$ , $p_s$ ( 1 ≤ $r_s$ ≤ $M$ かつ 0 ≤ $p_s$ < $N$ )が与えられる。３行目にミニグモの目的地の座標( $r_g$ , $p_g$ )を表す２つの整数 $r_g$ , $p_g$ ( 1 ≤ $r_g$ ≤ $M$ かつ 0 ≤ $p_g$ < $N$ )が与えられる。現在地の座標と目的地の座標は異なる( $r_s$ ≠ $r_g$ または $p_s$ ≠ $p_g$ )。

出力

最短の距離を１行に実数で出力する。ただし、誤差がプラスマイナス0.00001を超えてはならない。

入出力例

入力例1

8 4 0
3 3
4 0

出力例1

7.29610059

入力例2

8 4 1
3 3
4 0

出力例2

6.84775907

入力例3

8 4 2
3 3
4 0

出力例3

6.71261838